◆개요◆
부울대수의 기본 공리와 정리를 이해한다.
부울대수식을 논리회로로 표현하고 간단화하는 방법을 익힌다.
드모르간의 정리를 이해하고 부울대수에 활용하는 방법을 익힌다.
논리조합의 기초를 익힌다.
논리게이트의 대체기호 및 그 의미를 숙지한다.
서로 다른 게이트간의 치환방법을 익히고 이를 통해 기본 게이트들 간의 상관관계를 숙지한다.
◆관련 이론◆
◎부울대수의 기본연산 : 논리동작
디지털 논리회로에서 논리변수의 입력과 논리변수 출력간의 함수관계를 수식의 형태로 표현하는 수학체계를 부울대수라 부른다. 모든 논리변수는 0과 1의 두 상태 중의 하나를 갖는 것으로 전제된다.
논리합(OR)의 기호는 +, 논리곱(AND)의 기호는 ·, 논리보수(NOT)의 기호는 -이다.
◎부울대수의 정리
일반 대수학에서의 기본법칙과 유사한 법칙들이 성립한다.
1)교환법칙
A+B=B+A
A·B=B·A
2)결합법칙
A+(B+C)=(A+B)+C
A(B·C)=(A·B)C=A·B·C
3)분배법칙
A·(B+C)=A·B+A·C
(A+B)·(C+D)=AC+BC+AD+BD
4)부울대수만의 특성
A+AB=A
A+A'B=A+B
5)드모르간의 법칙
(A+B)'=A'·B'
(A·B)'=A'+B'
◎드모르간의 정리와 기본 게이트의 다른 표기법
(A+B)'=A'·B'
(A·B)'=A'+B'
◎게이트의 치환
이와 같은 논리게이트의 치환은 주어진 논리함수관계를 구현하는 데에 있어서 사용되는 게잍의 종류를 줄이는 데에 유용하게 사용된다. 물론 게이트의 종류가 줄어드는 대신 게이트의 숫자는 오히려 늘어날 수 있기 때문에 주어진 사오항에서 적절한 선택을 할 필요가 있다.
◎입출력 회로구성의 예
스위치와 논리회로, 출력회로를 결합한 간단한 예를 들어보기로 한다. 두 개의 스위치 si 과 S2가 있다고 할 때 두 스위치가 동시에 닫힐 때 LED가 끼지고 다른 경우에는 켜져 있 는 회로를 구성한다고 하자. 그림 7의 스위치 회로를 사용한다면 논리회로의 입력단자들은 스위치가 닫혔을 때 1，열렸을 때 0이 된다. 한편 출력단에서，는 논리회로의 출력이 1일때 LED가 켜지고 0일 때 꺼진다. 따라서 아 회로는 입력이 모두 1일 때 출력이 0이 되는 회로 가 되어야 한다. 따라서 그림에서와 같이 NAND 게이트를 사용하여 그 기능을 구현할 수 있다.
◎논리의 조합과 단순화
어떤 논리적 관계가 부울대수의 형태로 주어져 있으면 이를 그대로 자연스럽게 논리회로도로 치환할 수 있다. 즉 논리회로도란 부울대수 관계식을 논리게이트의 기호로 나타낸 것이다. 반대로 논리회로도가 주어져 있으면 이를 거꾸로 부울대수로 바꾸어 쓸 수 있다. 즉 논리회로도와 부울대수식은 같은 것을 형태만 달리 표현한 것으로 볼 수 있다.
◆실험 기기◆
테스터, 직류전원장치, 오실로스코프, 만능기판, 만능기판용 전선, 스트리퍼, ON/OFF 스위치 4개, Transistor (NPN) 1개, LED 1개
IC)
2-input NAND 7400 2개
2-input OR 7432 2개
2-input AND 7408 2개
NOT 7404 2개
3-input NAND 7410 1개
3-input AND 7411 1개
3-input NOR 7427 1개
4-input NAND 7420 1개
4-input AND 7421 1개
◆문제 풀이◆
1) A⊕B는 논리변수 A와 B 사이의 XOR 동작을 표현하기 위한 기호이다. 이를 AND, OR NOT으로 이루어진 부울대수 표현식으로 나타내고 해당 논리회로를 그려라.
2) 위 1항의 논리회로를 7400NAND 게이트만을 사용하여 구현하는 회로도를 작성하라.
3) 다음 부울대수식에 대한 진리표를 작성하라.
z=(A'+B)(A+B)
이 부울대수식을 부울연산의 기본법칙들을 적용하여 단순화 하라. 단순화된 결과식에 대해 진리표를 작성하고 위에서의 진리표와 일치하는지 확인하라.
Z=B 즉, 진리표와 일치함을 알 수 있다.
4) 다음의 부울대수식에 대하여 위의 문제를 반복하라.
P,Q로 치환 시켰을 때 진리표와 같음을 알 수 있다.
또한 A+A'B는 A·B로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.
5) 그림 9(a)의 회로에 대한 논리식을 작성하고 부울대수 연산규칙을 적용, 이를 단순화시켜 그림 9(b)에 해당하는 논리식으로 귀착됨을 보여라.
6) 아래의 회로를 논리식으로 작성하고 부울대수 연산규칙을 적용하여 간단화 한 식을 구하라.
7) 아래의 두 회로를 논리식으로 각각 표현하고 진리표를 통해, 그리고 부울대수를 이용하여 F1과 F2가 동일함을 증명하라
8) 2입력 NAND 게이트만으로 3입력 NAND 게이트를 구현하라.
2와 2의 입력으로 3의 입력 NAND 게이트를 구현했다.
9) 4입력 AND게이트를 필요로 하는 상황에서 7432와 7400이 1개씩 주어져 있다고 할 때 원하는 기능이 구현 가능한가? 가능하다면 그 방법은?
불가능하다. 4입력의 AND라 하면 0의 값이 나와야 하는데 아래 모든 경우의 수에 대해 1의 값이 나옴을 확인 할 수 있다.
10) TTL IC 7410, 7411, 7427, 7420, 7421에 관하여 데이터시트로부터 그 기능을 조사하고 입출력단자를 나타내는 그림을 그려라.
◆실험 순서◆
1) 그림 7과 그림 8의 회로를 구성하여 스위치의 상태에 따라 LED 발광상태가 변하는 것을 확인하라.
2) 예비보고서 1,2항에 해당하는 회로를 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
3) 예비보고서 3항의 원래 수식과 단순화된 수식을 각각 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
4) 예비보고서 4항의 원래 수식과 단순화된 수식을 각각 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
5) 예비보고서 5항의 두 회로를 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
6) 예비보고서 6항의 회로와 단순화된 회로를 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
7) 예비보고서 7항의 두 회로를 구성하고 실험을 통해 진리표를 작성하라.
8) 예비보고서 8항의 결과를 실험을 통하여 확인하라.
9) 예비보고서 9항의 결과를 실험을 통하여 확인하라.
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